Đường parabol toán 10: cách vẽ và lập phương trình cực dễ hiểu
1. Định nghĩa đường parabol
Parabol là một đường conic được hình thành từ giao giữa một hình nón và một mặt phẳng song song với đường sinh của nó. Nó là một tập hợp các điểm trên mặt phẳng, có tính chất là cách đều một điểm đã biết (tiêu điểm) và một đường thẳng đã biết (đường chuẩn).
Cho một điểm E và một đường thẳng d không đi qua E. Đường Parabol là tập hợp các điểm M có cách đều từ E và d. Cụ thể, ta có:
Trong cuộc sống, chúng ta có thể nhận thấy rất nhiều lĩnh vực sử dụng đường cong parabol, chẳng hạn như:
Xây dựng:.
Cầu được xây dựng với hình dạng parabol lõm xuống phía dưới, giúp phân phối lực gánh chịu đều sang hai bên chân cầu và làm giảm lực lên toàn bộ cây cầu, từ đó tăng khả năng chống sập của cây cầu. Bên cạnh đó, sự khuynh hướng đi theo phương tiếp tuyến của mặt cầu trên cầu parabol cũng giúp giảm lực tác động lên cầu, đặc biệt là đối với phương tiện di chuyển trên cầu.
Ở những công viên giải trí, đường ray tàu lượn siêu tốc được thiết kế dưới hình thức các cung đường parabol để tăng thêm cảm giác mạnh mẽ cho người chơi và đồng thời cung cấp động lực cho tàu di chuyển.
Tạo ra mặt kính:
Trong công nghiệp sản xuất kính thiên văn phản xạ, đường cong parabol được ứng dụng kết hợp với gương cầu. Ngoài ra, đèn pin và đèn chiếu sáng cũng sử dụng mặt cầu parabol để tăng cường ánh sáng và đưa nó đi xa hơn so với mặt cầu phẳng.
Anten Parabol.
Gương hình parabol là một loại gương hoặc mảnh kim loại có khả năng phản chiếu và tập trung ánh sáng hoặc các loại sóng điện từ tại một điểm cụ thể. Hiện nay, gương hình parabol được sử dụng phổ biến trong việc làm ăng ten vi sóng và chảo vệ tinh.
2. Phương trình đường parabol
2.1. Phương trình tổng quát đường parabol
Công thức đường Parabol có dạng: $y = ax^2 + bx + c $.
Hoành độ của đỉnh là $-\frac{b}{2a}$ chính là công thức tính toán.
Thay tọa độ trục ngang vào phương trình trên, chúng ta tìm được trục độ Parabol có công thức dưới dạng: $\frac{b^2-4ac}{4a}$.
Tọa độ đỉnh của đường parabol và hình dạng của nó sẽ thay đổi tùy thuộc vào dấu của hệ số a.
2.2. Phương trình chính tắc đường parabol
Phương trình căn bậc hai của một parabol được biết dưới dạng: $y^2 = 2px (p > 0) $.
Chứng minh như sau: Cho đường bậc hai có tiêu điểm E và một đường tiêu chuẩn d.
Kẻ PE vuông góc với d (với P thuộc d) và chúng ta xác định PE bằng p.
Chúng ta lựa chọn hệ trục tọa độ Oxy với điểm O là điểm trung tâm của PE và điểm E nằm trên tia Ox.
Kết quả là: $E=(\frac{p}{2};0) , P=(-\frac{p}{2};0) $.
Từ đó chúng ta có phương trình của đường thẳng d là: $x + \frac{p}{2} = 0$.
Điểm M(x;y) được cho nằm trên parabol nếu và chỉ nếu khoảng cách từ điểm M đến điểm E bằng khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d, tức là: $(x – \frac{p}{2})2+ y^2 = x+\frac{p}{2}$.
Phương trình chính tắc của parabol có dạng là rút gọn của việc bình phương cả hai vế của đẳng thức sau: $y^2 = 2px (p > 0)$.
Hãy đăng ký ngay để có thể hiểu rõ hơn về kiến thức và phương pháp giải các dạng bài tập Toán trong kỳ thi THPT Quốc Gia, sử dụng bộ tài liệu độc quyền của VUIHOC.
3. Cách vẽ đường cong parabol
Phương pháp 1: Vẽ bằng các công cụ như thước kẻ và compa.
Việc vẽ parabol bằng công cụ compa và thước kẻ là phổ biến và dễ dàng thực hiện.
Bước 1: Để khảo sát các điểm trên parabol, ta có thể áp dụng phương pháp đối xứng qua trục để tìm các điểm đối xứng và chỉ cần khảo sát một bên của parabol.
Bước 2: Vẽ trục Ox có góc vuông góc với trục Oy tại điểm O.
Bước 3: Trên trục Ox, tìm điểm E và M sao cho M là trung điểm của OE. Kết quả là OM=ME.
Bước 4: Chọn một điểm M’ ngẫu nhiên nằm trong ME, sau đó sử dụng thước thẳng để vẽ một đường đi qua M’ và song song với đường thẳng đã biết.
Bước 5: Dùng compa để tạo một vòng cung có bán kính bằng kích thước của đoạn OM’, điểm trên parabol là điểm giao nhau giữa vòng cung và đường thẳng song song với đoạn OM.
Bước 6: Chọn thêm các điểm bất kỳ thuộc ME và tiến hành các bước tương tự như trên, sử dụng thước để nối các điểm lại với nhau và tạo thành một parabol hoàn chỉnh.
Phương pháp thứ hai: Vẽ đường cong parabol bằng cách sử dụng hàm bậc 2.
Hàm số bậc 2 có dạng như sau: $y=ax^2+bx+c (a\neq 0)$.
Trong đó có a, b và c là các hằng số, và $a\neq 0$.
Đồ thị của hàm số bậc hai là một đường cong có hình chữ U được gọi là parabol được coi là.
Trong đồ thị của các hàm số bậc hai hoặc biểu đồ parabol hướng lên hay xuống phụ thuộc vào hằng số a. Nếu a < 0 thì biểu đồ quay xuống dưới và nếu a > 0 thì biểu đồ quay lên trên. Điều này được minh họa dưới đây:
Đỉnh Parabol.
Một điểm quan trọng của parabol là nó có một điểm cực trị, hay còn được gọi là đỉnh. Nếu parabol hướng lên, đỉnh sẽ là điểm thấp nhất trên đồ thị hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số bậc hai biểu diễn parabol đó. Nếu parabol hướng xuống, đỉnh sẽ là điểm cao nhất trên đồ thị hoặc giá trị lớn nhất của hàm số bậc hai biểu diễn parabol đó. Trong cả hai trường hợp, đỉnh là một điểm quay trên đồ thị.
Mỗi parabol đều có một trục đối xứng, nằm song song với trục y và đi qua đỉnh. Trục đối xứng là một đường thẳng đứng.
Đầu tiên, chúng ta sẽ tìm điểm giao của parabol với trục y. Điểm này là duy nhất trên đồ thị của hàm số bậc hai. Nếu tồn tại, đường cong sẽ không thể là một hàm vì sẽ có hai giá trị y cho một giá trị x là 0.
→ Cách vẽ parabol hàm bậc 2
Bước 1: Xác định vị trí đỉnh parabol là: $(−\frac{b}{2a};-\frac{\Delta }{4a})$.
Bước 2: Tìm ra được trục đối xứng $x = −\frac{b}{2a}$ (đi qua đỉnh và song song với trục tung).
Bước 3: Để tạo ra một phương pháp vẽ parabol chính xác hơn, chúng ta cần xác định tọa độ của các giao điểm của parabol với trục tung chính (điểm (0; c)) và trục hoành (nếu có). Chúng ta cũng cần xác định thêm một số điểm khác thuộc đồ thị, ví dụ như các điểm đối xứng với điểm (0; c) qua trục đối xứng của parabol.
Tiến trình thứ tư: Sử dụng tính chất đối xứng, hình dạng và bề lõm của parabol để kết nối các điểm và hoàn thiện parabol.
Chú ý: Khi vẽ parabol y = ax² + bx + c (a khác 0) cần lưu ý về dấu của hệ số a (nếu a > 0 thì parabol có bề lõm hướng lên trên, nếu a < 0 thì parabol có bề lõm hướng xuống dưới).
Đầu tiên, hãy tìm các điểm khác nhau trên đồ thị hàm số. Số lượng điểm này sẽ ảnh hưởng đến độ chính xác của đồ thị. Khi nối các điểm lại với nhau, ta sẽ có một parabol hàm số bậc hai.
Ví dụ 1: Tạo bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số: $y=-x^2+4x-4$.
Lời giải:.
$Y=-x^2+4x-4$.
Tập xác định là tập số thực.
Đỉnh I có tọa độ I(2;0).
Đường đối xứng là đường thẳng x=2.
Điểm A có toạ độ A(2; 0) là giao điểm với trục hoành.
Điểm B có tọa độ B(0;-4) là giao điểm với trục đứng.
Điểm đối xứng với điểm B(0;-4) qua đường thẳng x=2 là C(4;-4).
Bảng biến đổi:.
Đồ thị hàm số:Output: – Biểu đồ hàm số:
Ví dụ 2: Tạo bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: $y = 3x^2 – 4x + 1$.
Lời giải:.
$Y = 3x^2 – 4x + 1$ (trong đó: $a = 3; b = -4; c = 1$).
TXĐ : $D = \mathbb{R}$.
Tọa độ đỉnh là điểm I có vị trí I (2/3; -1/3).
Trục đối xứng là đường thẳng: x = 2/3.
Tính biến đổi :.
$A = 3 > 0$ hàm số đảo ngược trên (-∞; 2/3). Và đồng biến trên khoảng 2/3 ; +∞).
Chúng ta có bảng biến đổi :.
(P) Đường thẳng song song với trục hoành cắt đồ thị của hàm số y = 3x^2 – 4x + 1 tại hai điểm có hoành độ lần lượt là x = 1 và x = ½.
(P) trục tung giao nhau: x = 0 => y = 1.
Kết quả: Biểu đồ.
Đồ thị hàm số $y = 3x^2 – 4x + 1$ là một đường parabol (P) có các đặc điểm sau:.
Đỉnh I(2/3; -1/3). Trục đối xứng : x = ⅔ => parabol (P) xoay lên phía trên.
Hãy đăng ký ngay để nhận hỗ trợ và lập kế hoạch ôn tập kỳ thi THPT Quốc gia từ ngay bây giờ!
4. Sự tương quan của parabol và đường thẳng
Cho đường thẳng d: y=mx+n và parabol (P): y=ax2(a khác 0).
Số giao điểm của đường thẳng d và parabol (P) là số nghiệm của phương trình x-coordinate của điểm giao.
$Ax^2=mx+n ⇔ ax^2-mx-n=0$ (*).
Như chúng ta đã hiểu về kết quả của phương trình bậc 2.
Trong trường hợp phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt (Δ > 0), đường thẳng d sẽ cắt đồ thị của (P) tại hai điểm phân biệt.- Trong trường hợp phương trình (*) có nghiệm kép (Δ = 0), đường thẳng d sẽ tiếp xúc với đồ thị của (P).
Phương trình (*) không có nghiệm (Δ < 0) thì đường thẳng không cắt (P).
4.1. Phương pháp giải: tìm toạ độ giao điểm của parabol và đường thẳng
Để tổng quát hóa phương pháp tìm tọa độ giao điểm giữa parabol và đường thẳng, chúng ta có thể thực hiện qua bốn bước chính như sau:
Phương pháp giải:
Để tiếp cận và ứng dụng dễ dàng hơn, chúng ta sẽ tìm hiểu và làm quen với bốn dạng bài thường gặp cùng cách làm cho mỗi dạng.
Loại 1: Xác định số điểm giao của đường thẳng.
D: y=mx+n và đường cong đặc biệt (P): y=ax2(a ≠ 0).
Phương pháp: Số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm ax2-mx-n=0 là số giao điểm của đường thẳng d và parabol (P).
) Nếu phương trình (*) có hai nghiệm riêng biệt (Δ > 0), thì đường cong cắt đồ thị (P) tại hai điểm khác nhau.
) Phương trình (*) có nghiệm trùng nhau (Δ = 0) thì d tiếp xúc với (P).
) Phương trình (*) không có nghiệm (Δ < 0) thì đường cong (P) không cắt.
Dạng 2: Tìm vị trí giao nhau của đường thẳng.
$D: y=mx+n$ và đường cong parabol $(P): y=ax^2(a ≠ 0)$.
Phương pháp: Xét phương trình hoành độ giao điểm $ax^2=mx+n$ ⇔ $ax^2-mx-n=0$ (*).
Giải bài toán (*) tìm được giá trị x dẫn đến giá trị y.
Tọa độ các giao điểm sẽ là (x;y).
Xác định tham số m để đường thẳng d có phương trình $y=mx+n$ và parabol $(P)$ có phương trình $y=ax^2(a ≠ 0)$ cắt nhau tại một điểm thỏa mãn điều kiện cho trước.
Phương pháp:.
Phương trình (*) có hai nghiệm âm phân biệt ⇔ đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm bên trái trục tung.
Δ lớn hơn 0.
⇔ S < 0.
⎨ P lớn hơn 0.
Phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt và cả hai điểm đó nằm bên phải trục tung.
Δ lớn hơn 0.
⇔ S > 0.
⎨ P lớn hơn 0.
Phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac < 0 ⇔ Đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm khác phía trục tung.
Đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm có tọa độ thỏa mãn biểu thức đã được đưa ra (thường thay đổi biểu thức để sử dụng công thức Vi-et).
Dạng 4: Bài toán liên quan đến bề mặt tam giác, bề mặt hình thang và độ dài đoạn thẳng kẻ từ đỉnh đến đáy.
Phương pháp: Chúng ta sử dụng một cách linh hoạt để phân chia diện tích và tính diện tích tam giác, hình thang để giải quyết bài toán.
4.2. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1: Tìm vị trí giao điểm của parabol $y=x^2$ và đường thẳng $y=2x-1$.
Lời giải.
Phương trình tọa độ x của điểm giao là:.
$X^2=2x-1$ ⇔ $x^2-2x+1=0$.
⇔ (X-1)^2=0.
⇔ X-1=0.
⇔ X=1.
Với x=1=>$y=1^2=1$.
Vậy vị trí giao điểm của đường cong bậc hai y=x2.
Và đường đứng y=2x – 1 đi qua điểm có tọa độ (1;1).
Ví dụ 2: Cho một parabol có phương trình $(P): y=\frac{1}{2}x^2$ và một đường thẳng có phương trình $(d): y=x-\frac{m}{2}$ với m là tham số. Tìm tọa độ của tiếp điểm giữa đường thẳng (d) và parabol (P).
Lời giải:.
Phương trình tọa độ x của điểm giao là:.
$\Frac{1}{2}x^2=x-m\Leftrightarrow x^2-2x+m=0$ (*).
Ta có:.
^\Delta’ =b’^2-ac = (-1)2-1.M=1-m^.
Với tình huống đường thẳng tiếp xúc với parabol: Đường thẳng (d) chạm vào parabol (P).
Nếu phương trình (*) có nghiệm trùng nhau.
$\Delta’=0m=1$.
Khi đó, giải của phương trình (*) là:.
$X_1=x_2= -\frac{b}{2a}= -\frac{ -2}{2.1}=1$.
Với $x=1 \Rightarrow y=\frac{1}{2}.1^2=\frac{1}{2}$.
Vậy vị trí giao điểm của parabol $(P): y=\frac{1}{2}x^2$ và đường thẳng $(d): y=x-\frac{1}{2}$ là $(1; \frac{1}{2})$.
PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP TẬP TRUNG CÁ NHÂN HÓA.
Khóa học trực tuyến ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:.
⭐ Xây dựng kế hoạch học từ mất căn bản đến 27+.
⭐ Lựa chọn giáo viên, lớp học, môn học dựa trên sở thích.
⭐ Giao tiếp song hành hai chiều cùng giáo viên.
⭐ Tiếp tục học cho đến khi hiểu bài thì dừng.
⭐ Rèn kỹ thuật và thủ thuật giúp gia tăng hiệu suất thời gian làm bài.
⭐ Tặng toàn bộ tài liệu độc đáo trong quá trình học tập.
Đăng ký thử miễn phí ngay!!
VUIHOC đã tập trung vào việc ôn tập cụ thể về lý thuyết, cách làm và ví dụ minh hoạ về đường parabol. Mong rằng bài viết này sẽ giúp các em hiểu nhanh và giải quyết được nhiều bài toán thú vị trong phần kiến thức này. Để tìm hiểu thêm về các dạng kiến thức Toán THPT, đặc biệt là chương trình Toán lớp 10, các em có thể truy cập vào đường link online của vuihoc.Vn hoặc đăng ký khoá học với các thầy cô tại đây!
